- Giá trị kì vọng của một biến ngẫu nhiên phân phối Poisson là λ và nó cũng chính là độ lệch. Các giá trị mômen cao hơn của phân phối Poisson chính là các đa thức Touchard trong λ, với các hệ số có ý nghĩa tổ hợp. Cụ thể là nếu khi giá trị kì vọng của phân phối Poisson là 1, thì công thức Dobinski nói rằng moment thứ n bằng với số phân hoạch của một tập hợp có kích thước là n.
- mode của một biến ngẫu nhiên phân phối Poisson với λ không là số nguyên thì bằng với ⌊ λ ⌋ {\displaystyle \scriptstyle \lfloor \lambda \rfloor } , chính là số nguyên lớn nhất không vượt quá λ. Nếu λ là số nguyên dương, thì modes chính là λ và λ − 1.
- Tổng của các biến ngẫu nhiên theo phân phối Poisson:
Nếu X i ∼ P o i ( λ i ) {\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {Poi} (\lambda _{i})\,} tuân theo phân phối Poisson với tham số λ i {\displaystyle \lambda _{i}\,} và X i {\displaystyle X_{i}} là
độc lập nhau, thì Y = ∑ i = 1 N X i ∼ P o i ( ∑ i = 1 N λ i ) {\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}X_{i}\sim \mathrm {Poi} \left(\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\right)\,} cũng tuân theo phân phối Poisson với tham số là tổng của các tham số thành phần.
E ( e t X ) = ∑ k = 0 ∞ e t k f ( k ; λ ) = ∑ k = 0 ∞ e t k λ k e − λ k ! = e λ ( e t − 1 ) . {\displaystyle \mathrm {E} \left(e^{tX}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }e^{tk}f(k;\lambda )=\sum _{k=0}^{\infty }e^{tk}{\lambda ^{k}e^{-\lambda } \over k!}=e^{\lambda (e^{t}-1)}.}
- Mọi nửa bất biến (cumulant) của phân phối Poisson bằng với giá trị kì vọng λ. Mômen giai thừa thứ n của phân phối Poisson là λn.
- Phân phối Poisson chính là phân phối xác suất có thể chia hết vô hạn.
- Định hướng phân kì Kullback-Leibler giữa Poi(λ0) và Poi(λ) được cho bởi
Δ ( λ | | λ 0 ) = λ ( 1 − λ 0 λ + λ 0 λ log λ 0 λ ) . {\displaystyle \Delta (\lambda ||\lambda _{0})=\lambda \left(1-{\frac {\lambda _{0}}{\lambda }}+{\frac {\lambda _{0}}{\lambda }}\log {\frac {\lambda _{0}}{\lambda }}\right).}
Khởi tạo các biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson
Một cách đơn giản để khởi tạo các số ngẫu nhiên theo phân phối Poisson được đưa ra bởi Knuth, xem tham khảo ở dưới.
algorithm poisson random number (Knuth): init:Let L ← e−λ, k ← 0 and p ← 1. do:k ← k + 1.Generate uniform random number u and let p ← p × u. while p ≥ L. return k − 1.
Dù đơn giản, nhưng độ phức tạp của giải thuật là tuyến tính với λ. Nên có nhiều giải thuật khác giải quyết vấn đề này. Xem tham khảo tại sách của Ahrens & Dieter.
